Kandungan

• Arahan
• Bagaimana
• Notis

Takrif epsilon-delta adalah demonstrasi yang pelajar belajar pada tahun pertama kelas kalkulus. Takrif ini adalah cara klasik untuk menunjukkan bahawa fungsi mendekati ambang tertentu sebagai pemboleh ubah bebas menghampiri nilai tertentu. Epsilon dan delta masing-masing, huruf keempat dan kelima abjad Yunani. Huruf ini secara tradisinya digunakan dalam proses mengira sempadan dan juga digunakan dalam proses demonstrasi.

Arahan

Definisi epsilon-delta digunakan untuk menyelesaikan soalan-soalan sempadan. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Kita harus bermula dengan bekerja dengan definisi had rasmi. Takrif ini menyatakan bahawa "had f (x) adalah L, sebagai x mendekati k, jika bagi setiap epsilon lebih besar daripada sifar terdapat delta yang sama, lebih besar daripada sifar, sedemikian rupa, apabila nilai mutlak perbezaan antara x dan k kurang dari delta, nilai mutlak perbezaan antara f (x) dan L akan kurang daripada epsilon. "Secara tidak rasmi, ini bermakna bahawa had f (x) adalah L, apabila x menghampiri k, jika mungkin untuk membuat f (x) hampir dengan L seperti yang dikehendaki, dengan mendekati x ke k. Untuk melaksanakan demonstrasi epsilon-delta, ia mesti ditunjukkan bahawa adalah mungkin untuk menentukan delta dari segi epsilon, untuk fungsi dan sempadan yang diberikan.

   
   

2. Manipulate pernyataan "| f (x) - L | lebih kecil daripada epsilon" sehingga anda mendapatkan | x - k | kurang daripada beberapa nilai. Pertimbangkan ini "beberapa nilai" untuk menjadi delta. Ingat definisi formal dan idea pusat, yang menyatakan bahawa perlu untuk menunjukkan bahawa untuk mana-mana epsilon terdapat delta, membentuk antara mereka hubungan yang menjadikan definisi itu benar. Atas sebab ini, adalah perlu untuk menentukan delta dari segi epsilon.

3. Perhatikan beberapa contoh berikut untuk mengambil tanggapan tentang bagaimana definisi itu diteruskan. Sebagai contoh, untuk membuktikan bahawa had 3x-1 ialah 2, apabila x mendekati 1, kita pertimbangkan k = 1, L = 2 dan f (x) = 3x-1. Untuk memastikan bahawa | f (x) - L | kurang daripada epsilon, lakukan | (3x - 1) - 2 | lebih rendah daripada epsilon. Ini bermakna bahawa | 3x - 3 | kurang daripada epsilon, jadi 3 | x - 1 | juga, atau || x - 1 | kurang daripada epsilon / 3. Oleh itu, mengingat bahawa delta = epsilon / 3, | f (x) - L | akan kurang daripada epsilon setiap kali | x - k | kurang daripada delta.

   
   

Bagaimana

• Bahagian tengah bukti ialah mengubah f (x) - L ke dalam x - k. Jika anda menyimpan matlamat ini, seluruh demonstrasi akan berlaku dengan sempurna.

Notis

• Dalam sesetengah keadaan, had fungsi mungkin menunjukkan bahawa f (x) cenderung ke infiniti apabila x cenderung tak terhingga. Takrif epsilon-delta tidak berfungsi dalam kes ini; Dalam situasi ini, demonstrasi yang sama dapat dibuat dengan memilih dua angka besar, M dan N, dan menunjukkan bahwa f (x) dapat melebihi M dengan menyebabkan x melebihi N, dan M dapat sebesar yang diinginkan.